Univerza v Mariboru
Fakulteta za logistiko
Celje
2 E-vaje
Tatjana Živič
Predavatelj: doc. dr. Tomaž Kramberger
Sevnica, Januar 2016
PRIMER 1
Kriterijska funkcija:
min=6*x11+2*x12+6*x13+7*x14+4*x15+2*x16+5*x17+9*x18+4*x21+9*x22+5*x23+3*x
24+8*x25+5*x26+8*x27+2*x28*5*x31+2*x32+x33+9*x34+7*x35+4*x36+3*x37+3*x38+7
*x71+6*x42+7*x43+3*x44+9*x45+2*x46+7*x47+x48+2*x51+3*x52+9*x53+5*x54+7*x55
+2*x56+6*x57+5*x58+5*x61+5*x62+2*x63+2*x64+8*x65+x66+4*x67+3*x68+10000*x71
+10000*x72+10000*x73+10000*x74+10000*x75+10000*x76+10000*x77+10000*x78;
Omejitve kapacitet skladišč:
x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x81=50;
x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28=50;
x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38=45;
x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48=41;
x51+x52+x53+x54+x55+x56+x57+x58=38;
x61+x62+x63+x64+x65+x66+x67+x68=48;
x71+x72+x73+x74+x75+x76+x77+x78=8;
Omejitve povpraševanja:
x11+x21+x31+x41+x51+x61+x71=35;
x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72=37;
x13+x23+x33+x43+x53+x63+x73=22;
x14+x24+x34+x44+x54+x64+x74=32;
x15+x25+x35+x45+x55+x65+x75=41;
x16+x26+x36+x46+x56+x66+x76=32;
x17+x27+x37+x47+x57+x67+x77=43;
x18+x28+x38+x48+x58+x68+x78=38;
Minimalni stroški transporta so 80529 evra.
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8
S1 0 14 0 0 35 0 0 0
S2 0 0 0 12 0 0 0 28
S3 0 0 15 0 0 0 29 0
S4 35 0 0 3 0 2 0 0
S5 0 22 0 0 0 15 0 0
S6 0 0 6 16 0 13 10 0
S7 0 0 0 0 5 0 2 0
PRIMER 2
Podjetje ima v pristanišču Reka 45 zabojnikov, v pristanišču Koper pa 60. Pripeljati jih želi do
svojih logističnih centrov v Mariboru, Ljubljani in Krškem. Center v Mariboru potrebuje 30
zabojnikov, v Ljubljani 50 in v Krškem 25. Kako naj podjetje organizira transport iz
pristanišč do centrov, da bodoskupni stroški transporta minimalni. Stroški za prevoz enega
zabojnika od posameznega pristaniščado posameznega centra in podane omejitve so podane v
spodnji tabeli.
MB LJ KK IZVORI
REKA 200€ 160€ 120€ 45€
KOPER 180€ 100€ 150€ 60€
PONORI 30€ 50€ 25€
Dani problem najprej zreduciramo na dve spremenljivki, tako kot kaže spodnja tebela. Najprej
do-ločimo, da bomo iz Reke v Maribor prepeljalixzabojnikov, iz Reke v Ljubljano pa y. Vse
ostale vrednosti v tabeli lahko izrazimo s tema spremenljivkama. Če prepeljemo iz Reke, kjer
je skupaj 45 zabojnikov, v Maribor x zabojnikov in v Ljubljano y, potem jih preostanek 45xy
v Krško. Če Maribor želi skupaj 30 zabojnikov in jih iz Reke prejme x, potem jih mora iz
Kopra prejeti preostanek, kar znaša 30x. Podobno velja za Ljubljano, ki jih iz Reke prejme y
iz Kopra pa preostanek, ki manjka do 50, torej 50y. Krško želi skupaj 25 zabojnikov. Če jih
prejme iz Reke 45xy, potem jih prejme iz Kopra preostanek, kar znaša 25(45xy) = x+y20.
Ker smo prevedli sistem na dve spremenljivki (x in y), lahko zapišimo namensko funkcijo in
omejitve.Celotne stroške bomo dobili tako, da bomo sešteli vse produkte števila zabojnikov in
stroške prevozaod posameznege pristanišča do centra. Tako na primer stroški od Reke do
Maribora za vse zabojnike znašajo x200, od Kopra do Maribora ((30x)180), itd. Če seštejemo
vse produkte dobimo namenskofunkcijo
f(x;y) = 200x+(30x)180+y160+(50y)100+(45xy)120+(x+y20)150 = 50x+90y+12800
Ker želimo minimalne stroške, iščemo minimum, zato zapišemo:
minf(x;y) = 50x+ 90y+ 12800
Omejitve določimo tako, da predpostavimo, da je količina zabojnikov, ki se iz poljubnega
pristaniščadostavijo do poljubnega centra, večja ali enaka nič:
•Reka - Maribor: x0
•Reka - Ljubljana: y0
•Reka - Krško: 45xy0
•Koper - Maribor: 30x0
•Koper - Ljubljana: 50y0
•Koper - Krško: x+y200
Če dane neenačbe v obliki polravnin narišemo v koordinatni sistem dobimo konveksno
množico AB-CDE, ki je narisana na spodnji sliki.
V spodnji tabeli so zapisane ekstremne točke konveksne množice ABCDE in vrednost
namenske funkcijev vsaki izmed njih. Ekstremna točka, ki leži na presečišču premic 45xy = 0
in 30x = 0 ima x koordinato 30 (pove druga enačba), y koordinato pa izračunamo tako, da ta x
= 30 vstavimo v prvo enačbo 45xy = 0in dobimo y= 15.
Vrednost namenske funkcije v vsaki ekstreni točki dobimo tako, da dani vrednosti x-a in y-a
vstavimo v namensko funkcijo f (x;y) = 50x + 90y + 12800. Za točko (0,45) dobimo f = 500 +
90·45 + 12800 = 16850. Namenska funkcija doseže svoj minimum v točki (20,0), kjer
vrednost le-te znaša 13800. Izračunali smo, da so stroški transporta minimalni (t.j. 13800€),
če iz Reke prepeljemo 20 zabojnikov v Maribor in 25 v Krško, iz Kopra pa 10 zabojnikov v
Maribor in 50 v Ljubljano. Dobljeni rezultati so predstavljeni tudi v spodnji tabeli